Question

【题目】在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．

（1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式；

（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式；

（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）结论成立，理由见解析

【解析】

（1）设影子抛物线表达式是，先求出原抛物线的顶点坐标，代入，可求解；

（2）设原抛物线表达式是，用待定系数法可求，，即可求解；

（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．

解：（1）原抛物线表达式是

原抛物线顶点是，

设影子抛物线表达式是，

将代入，解得，

所以“影子抛物线”的表达式是；

（2）设原抛物线表达式是，

则原抛物线顶点是，

将代入，得①，

将代入，②，

由①、②解得，．

所以，原抛物线表达式是或；

（3）结论成立．

设影子抛物线表达式是．原抛物线于轴交点坐标为

则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中、、、是常数，且，

由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、

将、分别代入，

得

消去得，

，

，，

、关于轴对称．