Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，，，点C在x轴的正半轴上，

    点D为OC的中点．

（1） 求证：BD∥AC；

（2） 当BD与AC的距离等于1时，求点C的坐标；

（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

    解：（1）

 

       （2）

       （3）

 

Answer 1

解：（1）∵ ，，

        ∴ OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点．

        ∵ 点D为OC的中点，

        ∴ BD∥AC．

   （2）如图6，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则．

∵ BD∥AC，BD与AC的距离等于1，

∴ ．

        ∵ 在Rt△ABF中，，AB=2，点G为AB的中点，

∴ ．

∴ △BFG是等边三角形，．

    ∴ ．

    设，则，．

  

 

 ∵ OA=4，

    ∴ ．

    ∵ 点C在x轴的正半轴上，

    ∴ 点C的坐标为．

       （3）如图7，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE．

  ∴ DE⊥OC．

  ∵ 点D为OC的中点，

  ∴ OE=EC．

  ∵ OE⊥AC，

  ∴ ．

            ∴ OC=OA=4．

    ∵ 点C在x轴的正半轴上，

    ∴ 点C的坐标为．

            设直线AC的解析式为（k≠0）．

            则   解得

            ∴ 直线AC的解析式为 ．