Question

13．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求该商品原来的进价；
（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元；
（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．

解答 解：（1）设该商品原来的进价为x元．
由题意：$\frac{5400}{x}$+30=$\frac{5400}{0.9x}$，解得x=20，
答：该商品原来的进价为20元．

（2）设提价x元，
根据题意得：（25+x-20）（250-10x）=2000，
解得x=15或5，
∵销量尽可能大，
∴x=5，
∴商品的售价是每件30元．

（3）w=（25+x-20）（250-10x）=-10x²+200x+1250=-10（x-10）²+2250（0≤x≤25）；
∵-10＜0，
抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小，
方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5，
当x=5时，利润最大，
最大利润为w=-10×5²+200×5+1250=2000（元），
方案B：根据题意得，25+x-20≥16，
解得：x≥11，
则11≤x≤25，
故当x=11时，利润最大，
最大利润为w=-10×11²+200×11+1250=2240（元），
∵2240＞2000，
∴综上所述，方案B最大利润更高．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．