Question

4．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用18米长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．
（1）若矩形面积为120平方米，求AB长为多少米？
（2）设AB边长为x米，矩形面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）；
（3）当x为何值时 S有最大值；并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）设AB长为x米，BC长为（32-2x）米，根据题意得方程，即可求得结果；
（2）设AB边的长为x米，则BC=32-2x，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（3）利用二次函数的性质求最大值即可．

解答 解：（1）设AB长为x米，BC长为（32-2x）米，由题意得
x（32-2x）=120
解方程得x₁=6，x₂=10
若x=6，则BC=20米，20＞18，
超过围墙的最大长度，不符合题意舍去，
所以x=10米，即AB长为10米；

（2）由题意得S=x（32-2x）=-2x²+32x；

（3）S=-2x²+32x
=-2（x²-16x+64-64）
=-2（x-8）²+128，
因为a=-2＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，
当x=8时，最大值为128，
即当AB取8米时，花圃的面积最大，最大为128平方米．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．