Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=5cm，CD=4cm．点P从点C出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速移动，点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点N从点D出发以acm/s的速度沿DC向点C匀速移动．点P、M、N同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts．
（1）如图①，
①当a为何值时，以P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等？并求出相应的t的值；
②连接AP、BD交于点E．当AP⊥BD时，求出t的值；
（2）如图②，连接AN、MD交于点F．当a=$\frac{3}{8}$，t=$\frac{8}{3}$时，证明S_△ADF=S_△CDF．

Answer 1

分析 （1）①当△PBM≌△PCN时或当△MBP≌△PCN时，分别列出方程即可解决问题；
②当AP⊥BD时，由△ABP≌△BCD，推出BP=CD，列出方程即可解决问题；
（2）如图②中，连接AC交MD于O只要证明△AOM≌△COD，推出OA=OC，可得S_△ADO=S_△CDO，S_△AFO=S_△CFO，推出S_△ADO-S_△AFO=S_△CDO-S_△CFO，即S_△ADF=S_△CDF；

解答 解：（1）①∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴当△PBM≌△PCN时，有BM=NC，即5-t=t   ①
5-1.5t=4-at    ②
由①②可得a=1.2，t=2.5．
当△MBP≌△PCN时，有BM=PC，BP=NC，即5-1.5t=t   ③
5-t=4-at   ④，
由③④可得a=0.5，t=2．
综上所述，当a=1.2，t=2.5或a=0.5，t=2时，以P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等．

②∵AP⊥BD，
∴∠BEP=90°，
∴∠APB+∠CBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CBD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBD}\\{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD，
∴BP=CD，
即5-t=4，
∴t=1．
（2）∵当a=$\frac{3}{8}$，t=$\frac{8}{3}$时，DN=at=1，而CD=4，
∴DN＜CD，
∴点N在点C、D之间，
∵AM=1.5t=4，CD=4，
∴AM=CD，
如图②中，连接AC交MD于O．
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥BC，
∴∠AMD=∠CDM，∠BAC=∠DCA，
在△AOM和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠CDM}\\{AM=CD}\\{∠BAC=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△COD，
∴OA=OC，
∴S_△ADO=S_△CDO，S_△AFO=S_△CFO，
∴S_△ADO-S_△AFO=S_△CDO-S_△CFO，
∴S_△ADF=S_△CDF．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．