Question

已知：B，C是线段AD上的两点，且AB=CD．分别为AB，BC，CD，AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形．此图的对称轴分别交其中两个半圆于M，N交AD于O．若AD=16，AB=2r（0＜r＜4），回答下列问题：
（1）用含r的代数式表示BC=

 

，MN=

 

；
（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S_阴影，请通过计算填写下表：

r	S	S阴影
r=1		49π
r=2	36π
r=3		25π

（3）由此表猜想S与S_阴影的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据线段的和差关系可知：BC=16-4r，即OC=

1

2

BC=8-2r=ON，OM=AB+OB=2r+8-2r=8，所以MN=ON+OM=8-2r+8=16-2r．
（2）根据圆的面积公式进行计算，可得出S=S_阴影，依此填写表格．
（3）利用面积公式证明．

解答：解：（1）16-4r，16-2r．（2分）

（2）如图所示：

r	S	S阴影
r=1	49π	49π
r=2	36π	36π
r=3	25π	25π

（3）S=S_阴影．
证明：∵S=π（

16-2r

2

）²=π（8-r）²=64π-16πr+πr²
S_阴影⁼

1

2

×8²π-πr²+

1

2

π（8-2r）²=64π-16πr+πr²，
∴S=S_阴影．（8分）
说明：证明中S_阴影，S求对一个可得（1）．结果写为π（8-r）²或其它形式不扣分．

点评：本题主要考查了看图的能力，利用图中的线段关系和轴对称的性质，求出各圆的半径，然后再进行圆面积的计算．