Question

17．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，已知A（0，2）、C（5，0）．
（1）如图①，求点B的坐标；
（2）如图②，BF在△ABC的内部且过B点的任意一条射线，过A作AM⊥BF于M，过C作CN⊥BF于N点，写出BN-NC与AM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥y轴，根据AAS可证明△ABD≌△COA，则BD=OA，AD=OC，即可求出点B的坐标；
（2）BN-NC=2AM，如图②，在BN上截取BG=CN，连接AG，AN，证明△ABG≌△ANC，得到AN=AG，∠CAN=∠BAG，再证明GN=2AM，所以BN-NC=BN-BG=GN=2AM．

解答 解：（1）如图1，作BD⊥y轴，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD+∠OAC=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAD=∠OCA，
在△ABD和△COA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AOC=9{0}^{°}}\\{∠BAD=∠OCA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△COA（AAS），
∴OA=BD，OC=AD，
∵A（0，2），C（5，0），
∴OA=2，OC=5，
∴BD=2，AD=5，
∴BD=2，OD=3，
∴B（-2，-3）．
（2）BN-NC=2AM，
如图②，在BN上截取BG=CN，连接AG，AN，

∵∠BAC=∠ANC=90°，
∴B，A，N，C四点共圆，
∴∠ANB=∠ACB=45°，∠ACN=∠ABN，
在△ABG和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=CN}\\{∠ACN=∠ABN}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ANC，
∴AN=AG，∠CAN=∠BAG，
∵∠ANB=45°，
∴∠ANC=135°，
∴∠NAC+∠ACN=45°，
∴∠ABM+∠BAG=45°，
∴∠AGN=∠ANB=45°，
∴AG=AN，∠GAN=90，且AM⊥MN，
∴AM=MN=MG，
∴GN=2AM，
∴BN-NC=BN-BG=GN=2AM．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定定理，解决本题的关键是△ABD≌△COA，△ABG≌△ANC．