Question

5．如图，抛物线y=-x²+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1
（1）求抛物线与直线CD的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有点E，使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；
（3）点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥CD于点G，作FH∥y轴，与直线CD交于点H，求△FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥x轴于点M，根据tan∠DCO=1，则∠DCM=45°，△CDM是等腰直角三角形，求得D的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线和直线CD的解析式；
（2）首先求得A和B的坐标，以及抛物线的对称轴，直线BC与对称轴的交点就是点E，首先求得BC的解析式，则E的坐标即可求得；
（3）△FGH是等腰直角三角形，当FG最大时，△FGH的周长的最大，设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线，利用根的判别式即可求得直线的解析式，进而求得唯一的公共点，即F的坐标，求得△FGH的周长．

解答 解：（1）作DM⊥x轴于点M．
在y=-x²+ax+8中令x=0，则y=8，则C的坐标是（0，8），即OC=8．
∵D的纵坐标是5，
∴M的坐标是（0，5），即OM=5．
∴CM=OC-OM=8-5=3．
∵tan∠DCO=1，
∴∠DCM=45°，则△CDM是等腰三角形．
∴DM=CM=3，
∴D的坐标是（3，5）．
把（3，5）代入y=-x²+ax+8得：-9+3a+8=5，
解得：a=2．
则二次函数的解析式是y=-x²+2x+8；
设CD的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
则直线CD的解析式是y=-x+8；
（2）抛物线的对称轴是x=1．
在y=-x²+2x+8中，令y=0，则-x²+2x+8=0，解得：x=4或-2．
则A的坐标是（-2，0），B的坐标是（4，0），BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，EA+EC的值最值是4$\sqrt{5}$．
设BC的解析式是y=dx+e，
则$\left\{\begin{array}{l}{4d+e=0}\\{e=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=-2}\\{e=8}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=-2x+8．
令x=1，y=-2+8=6，
则E的坐标是（1，6）；
（3）设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线解析式是y=-x+d，
则-x²+2x+8=-x+d，
即x²-3x+（d-8）=0，
△=9-4（d-8）=0，解得：d=$\frac{41}{4}$．
当d=$\frac{41}{4}$时，x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{41}{4}$=$\frac{35}{4}$．
则F的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．
在y=-x+8中，令y=$\frac{35}{4}$，则-x+8=$\frac{35}{4}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，即H的坐标是（-$\frac{3}{4}$，$\frac{35}{4}$）．
HF=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．
则FG=HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
则△FGH的周长是2×$\frac{9\sqrt{2}}{8}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9（\sqrt{2}+1）}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解直线与抛物线的交点的个数的判断，求得F的坐标是解决本题的关键．