Question

19．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₃，则∠A₃=8°．

Answer 1

分析 利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，进而可求∠A₁，由于∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，故∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A．

解答 解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
即$\frac{1}{2}$∠ACD=∠A₁+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$×64°=32°，
∵∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∴∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A=$\frac{1}{8}$×64°=8°．
故答案为：8°．

点评 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是推导出∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，并能找出规律．