Question

如图，AB是⊙O的直径，延长BA到点P，过P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交PC于E，BE交⊙O于D，已知PA=1，PC=

3

OC
（1）求DE的长；
（2）连结DO，延长DO交⊙O于F，连结PF，求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长，证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长；
（2）首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．

解答：解：（1）设圆的半径是r，则OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=

3

r．
∵PC是圆的切线，
∴∠PCO=90°，
∴在直角△PCO中，PC²+OC²=OP²，即（

3

r）²+r²=（1+r）²，
解得：r=1．
在直角△OPC中，cos∠POC=

OC

OP

=

1

2

，
∴∠POC=60°，
∵∠PCO=90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B=∠POC=60°，
∴

OC

BE

=

OP

BP

=

2

3

，
∴BE=

2

3

OC=

3

2

．
∵在△OBD中，OB=OD，∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°．
∴DE=BE-BD=

3

2

-1-

1

2

，∠POF=∠BOD=60°；

（2）∵在△OPC和△OPF中，

OC=OF ∠POF=∠BOD OP=OP

，
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP=∠OCP=90°，
∴PF是⊙O的切线．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．