Question

【题目】如图，已知，抛物线与轴交于两点，过点的直线与该抛物线交于点，点是该抛物线上不与重合的动点，过点作轴于，交直线于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若，当时，求点坐标；

（3）当（2）中直线为时，是否存在实数，使与相似？若存在请求出的值；若不存在，请说明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（5，6）或（1，-6）；（3）存在，-2或-1

【解析】

(1)把A.B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)设出P点坐标，则可表示出E.D的坐标，从而可表示出PE和DE的长，由条件可得关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
(3)分两种情况或，时，由二次函数的对称性得出C点坐标，代入即可求解；时，如图2，过点作于点，由相似三角形的性质及二次函数的对称性得出C点、F点坐标，进而可求得k的值．

解：（1）∵抛物线与轴交于，两点，

∴,

解得，

∴抛物线解析式为；

（2）当时，直线的解析式为．

设，

则，，

则，

，

∵，

∴，

当时，

解得或，

但当时，与重合不合题意，舍去，

∴；

当时，

解得或，

但当时，与重合不合题意，舍去，

∴；

综上可知点坐标为或；

（3）存在.

∵，

∴要使与相似，

必有或，

①当时，

如图1，轴，

图1

∵，根据对称性可得，

将代入解析式中，

得，

解得，，

②当时，

如图2，过点作于点，

图2

则有，

则，

∴，

易得，

∴，

由

得或．

∴，

∴，

∴，，

∴ ，

解得，，（此时与重合，舍去）

综上，当或时，与相似.