Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，tan∠BAC=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从O点出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，问运动多少秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）过点P向x轴作垂线，交抛物线于一点M，是否存在点M，使得点M到BC的距离等于$\frac{3\sqrt{2}}{4}$？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S_△PBQ与t的函数关系式S_△PBQ=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（t-2）²+$\sqrt{2}$，利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）首先求出MN的长，进而得出MN=（t-4）-（$\frac{1}{2}$t²-t-4），求出符合题意的答案即可．

解答 解：（1）∵tan∠BAC=2，∴OC=2OA=4，∴C（0，-4）
将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点坐标分别代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）设运动时间为t秒，由题意可知：0＜t＜4，
则OP=t，PB=4-t，BQ=t，
过点Q作QD⊥AB，垂直为D，
∵OC=4，OB=4，∴∠OBC=45°，∴DQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PB•DQ=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（t-2）²+$\sqrt{2}$，
∴当运动2秒时，△PBQ面积最大，最大值为$\sqrt{2}$；

（3）假设存在点M，使得点M到BC的距离MH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
如图，设PM交直线BC于点N，易得∠HMN=45°，则MN=$\sqrt{2}$MH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$•$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$，
设直线BC的关系式为y=kx-d，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+d=0}\\{d=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-4}\end{array}\right.$，
故直线BC的关系式为：y=x-4，
所以N点坐标为（t，t-4），M点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²-t-4），
∴MN=（t-4）-（$\frac{1}{2}$t²-t-4），
∴（t-4）-（$\frac{1}{2}$t²-t-4）=$\frac{3}{2}$，
解得：t₁=1，t₂=3，
故t=1时，$\frac{1}{2}$t²-t-4=-$\frac{9}{2}$，t=3时，$\frac{1}{2}$t²-t-4=-$\frac{5}{2}$，
所以存在点M满足条件，坐标为：（1，-$\frac{9}{2}$），（3，-$\frac{5}{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，表示出线段MN的长是解题关键．