题目内容

如图，一次函数y=-x-7与正比例函数y= $数学公式$ x的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴交y轴于点C．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动；同时点R以相同速度从B出发沿BO方向运动．过R作x轴的垂线交直线AB于点Q，．当点P到达点A时，点R停止运动．在运动过程中，设动点P运动时间为t秒．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当P在线段OC上运动时，设△APR的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在t值使得△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）联立得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，即A（3，4），
在y=-x+7中，令y=0，得到x=7，即B（7，0）；

（2）∵OP=BR=t，AC⊥y轴，如图（1）所示，
∴AC=3，OC=4，
∴CP=CO-PO=4-t，OR=OB-BR=7-t，
∴S_梯形ACOR= $\text{[math]}$ •OC= $\text{[math]}$ ×4=20-2t，S_△APC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×3（4-t）=6- $\text{[math]}$ t，S_△OPR= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t（7-t）= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ t²，
∴S=S_△APR=S_梯形ACOR-S_△APC-S_△OPR=20-2t-（6- $\text{[math]}$ t）-（ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ t²）= $\text{[math]}$ t²-4t+14（0≤x≤4）；

（3）分三种情况即可：
情况1：当点P在线段OC上时，∠PAQ=90°，PA=AQ，直线RQ与CA延长线交于点M，如图（2）所示，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ACP和△QMA中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ACP≌△QMA（AAS），
∴MQ=AC=3，
设直线AB与y轴交于点D，即D（0，7），
∴OD=OB=7，∴∠ABO=45°，
∴QR=BR=t，
∵MQ+QR=OC，
∴3+t=4，即t=1；
情况2：当点P在线段AC上时，∠APQ=90°，PA=PQ，如图（3）所示，
此时AP=AC+OC-t=7-t，QP=QR-PR=t-4，
∴7-t=t-4，即t= $\text{[math]}$ ；
情况3：当点P在线段AC上时，∠AQP=90°，QA=PQ，如图（4）所示，
设AC与QR交于点K，
∴AP=2AK，即7-t=2（t-4），
解得：t=5，
综上，存在△APQ是等腰直角三角形，此时t=1或t= $\text{[math]}$ 或t=5．
分析：（1）联立两函数解析式组成方程组，求出方程组的解即可得到A的坐标，由一次函数y=-x-7，令y=0求出x的值，即可确定出B坐标；
（2）由A的坐标确定出AC与OC的长，表示出CP与OR，三角形APR面积=梯形ACOR面积-三角形APC面积-三角形OPR面积，列出S关于t的函数解析式即可；
（3）分三种情况考虑：情况1：当点P在线段OC上时，∠PAQ=90°，PA=AQ，直线RQ与CA延长线交于点M，如图（2）所示，利用同角的余角相等得到∠2=∠3，利用AAS得到三角形ACP与三角形QMA全等，得到MQ=AC=3，求出D坐标确定出OD=OB，得到∠ABO=45°，得到三角形QBR为等腰直角三角形，即QR=RB=t，根据MQ+QR=MR列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；情况2：当点P在线段AC上时，∠APQ=90°，PA=PQ，如图（3）所示，根据AP=QP求出t的值；情况3：当点P在线段AC上时，∠AQP=90°，QA=PQ，如图（4）所示，设AC与QR交于点K，根据AP=2AK求出t的值，综上，存在t值使得△APQ为等腰直角三角形，求出满足题意所有t的值即可．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数图象与性质是解本题的关键．