Question

【题目】如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，

（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值

（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．

【解析】

（1）由抛物线解析式求点A、B、C坐标，由OD=OC求点D坐标．设点P横坐标为t，可用待定系数法求得用t表示的直线PB解析式，即能用t表示PB与y轴交点G的坐标，进而用t表示DG的长．以DG为界把△PBD分成左右两边的△PDG与△BDG，则以DG为底计算易求得△PBD面积与t的二次函数关系式，求对称轴即得到△PBD最大时t的值，进而得到点P坐标．求得∠ABP=30°，即x轴平分∠PBQ，故点P、Q关于x轴对称，得到点Q坐标，进而得到直线AQ解析式，发现∠QAB=∠PAB=60°．作直线AP，可得直线AQ与AP夹角为60°，过点M作MH⊥AP于H，即构造出特殊Rt△MAN，得到MH=AM．把点D平移到D'，使DD'∥MN且DD'=MN，构造平行四边形MNDD'，故DN=D'M．所以DN+MN+AM可转化为MN+D'M+MH．易得当点D'、M、H在同一直线上时，线段和会最短，即过D'作D'K⊥AP于K，D'K的值为所求．根据平移性质求D'坐标，求直线D'K与直线AP解析式，联立方程组求得K的坐标，即求得D'K的长．

（2）抛物线平移不改变开口方向和大小，再求得点E坐标和点A坐标，可用待定系数法求平移后的解析式，进而求得点F．由旋转性质可得△ABB'与△AEE'为等边三角形，求出点E'、B'坐标，B'F⊥x轴且△B'E'F为含30°的直角三角形．把点R从E'移动到F的过程，发现∠RB'T一定小于90°，不可能成为矩形内角，故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°．点T可以在E'F上，也可以在B'F上，画出图形，根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长，即能求点S坐标．

解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；

作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K

∵y＝＝0

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0）

∵x＝0时，y＝＝﹣

∴C（0，﹣），OC＝

∴OD＝OC＝，D（0，）

设P（t， t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）

设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G

∴ 解得：

∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）

∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+

∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DGxB+DG|xP|＝DG（xB﹣xP）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）

∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大

∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3

∴tan∠ABP＝＝

∴∠ABP＝30°

∵△BPQ为等边三角形

∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ

∴BA平分∠PBQ

∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点

∴Q（﹣2，）

∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝

∴∠QAI＝∠PAI＝60°

∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°

∵MH⊥AP于点H

∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝

∴MH＝AM

∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2

∴四边形MNDD'是平行四边形

∴D'M＝DN

∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH

∵D'K⊥AP于点K

∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短

∵DD'∥MN，D（0，）

∴∠D'DJ＝30°

∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝

∴D'（1，）

∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°

∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°

∴PB∥D'K

设直线D'K解析式为y＝x+d，

把点D'代入得： +d＝

解得：d＝

∴直线D'K：y＝x+

把直线AP与直线D'K解析式联立得：

解得：

∴K（﹣，）

∴D'K＝

∴DN+MN+AM的最小值为

（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2

∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E

∴E（0，）

∴tan∠EAB＝

∴∠EAB＝30°

∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E

∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+

∵抛物线C'经过点A（﹣3，0）

∴×9﹣3m+＝0

解得：m＝

∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+

∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1

∴F（﹣1，0）

∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝

∴△ABB'、△AEE'是等边三角形

∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上

∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）

∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝

∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°

①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°

过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E'

∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R＝∠B'E'R＝60°，B'E'＝B'E'＝2

∴E'T＝B'E'﹣B'T＝2﹣

∴Rt△RTE'中，RT＝E'T＝2﹣3

∵四边形RTB'S是矩形

∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3

∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°

∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣

∴xS＝xB'﹣B'W＝，yS＝yB'+SW＝3+

∴S（，3+）

②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°

过点S作SX⊥B'F于点X

∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T

∴B'S＝RT＝E'R＝1

∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°

∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝

∴xS＝xB'+XS＝﹣，yS＝yB'﹣B'X＝

∴S（﹣，）

③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°

∴RE'∥E'B'，∠E'＝∠B'E'R＝60°

∴∠E'BE'＝∠E'RE'＝120°

∴四边形B'E'RE'是平行四边形

∵E'R＝E'R

∴B'E'RE'是菱形

∴B'E'＝E'R

∴△B'E'R是等边三角形

∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'

∴点S为B'E'中点

∴S（﹣2，2）

综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．