Question

15．已知，如图，在△ABC，AB=AC，∠BAC=80°，O是△ABC内一点，∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠OAC的度数．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，延长CO交AD于P，连接PB，求出∠PAB=∠POB，∠ABP=∠OBP，已知利用AAS可判定△ABP≌△OBP，从而推出AB=BO，根据三角形内角和定理即可求得∠BAO的度数即可．

解答 解：∵在△ABC，AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=50°，
∵∠OBC=10°，∠OCA=20°，
∴∠ABO=50°-10°=40°，∠OCB=50°-20°=30°，
作AD⊥BC于D，延长CO交AD于P，连接PA，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OCA=20°，
∴∠ACP=∠ACB=20°=∠ABP，
∠PBO=∠ABC-∠ABP-∠OBC=50°-20°-10°=20°=∠ABP，
∠POB=∠OBC+∠OCB=10°+30°=40°=∠BAD，
∵在△ABP和△OAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠POB}\\{∠ABP=∠OBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△OAP，
∴AB=OB，
∴∠BAO=∠BOA，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABO）=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠OAC=80°-70°=10°．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理的综合运用，题目比较好，难度偏大．