Question

【题目】在圆中，、是圆的半径，点在劣弧上，，，，连接.

（1）如图1，试说明：平分；

（2）如图2，点在弦的延长线上，连接，如果是直角三角形，求的长；

（3）如图3，点在弦上，与点不重合，连接与弦交于点，设点与点的距离为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的长为4或8；（3）， .

【解析】

（1）由AO=BO知∠OAB=∠B，根据OB∥AC知∠B=∠CAB，据此可得∠OAB=∠CAB，即可得证；
（2）①∠AMB=90°时，作OH⊥AC可得AH=HC=AC=6，由勾股定理求得OH=BM=8，根据矩形OBMH知HM=OB=10，由CM=HM-HC可得答案；②∠ABM=90°时，由①可知AB=8、cos∠CAB，在Rt△ABM中根据cos∠CAB= 可得AM=20，继而得出答案；
（3）作OG⊥AB，由（1）知sin∠OAG=sin∠CAB，从而sin∠CAB= ，结合OA=10求得OG=2，根据AC∥OB知 ，即，据此求得BE=，利用y=×BE×OG可得答案．

（1）证明：∵、是圆的半径，

∴∴.

∵，∴，∴，

∴平分；

（2）解：由题意可知不是直角，

所以是直角三角形只有以下两种情况：

和，

①当，点的位置如图，

过点作，垂足为点，

∵经过圆心∴，

∵，∴，

在中，，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四边形是矩形，∴，

∴；

②当，点的位置如图，

由①可得，，

在中，，

∴，

，

综上所述，的长为4或8.

（3）过点作，垂足为点，

由（1）、（2）可知，，

由（2）可得：，

∵∴，

∵∴，

又，，，

∴∴，

∴，

∴，

自变量的取值范围为.