题目内容
【题目】如图1，抛物线y=ax2-3ax-2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E(-2，3)在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM=45°，求P点坐标．
【答案】（1）y=
x2-
x-2；（2）见解析；（3）点P坐标为(6，7)
【解析】
（1）把点E坐标代入抛物线解析式即求得a的值；
（2）由抛物线解析式求点A、B、C、D的坐标，直接求得直线DE解析式为y=-x+1．设点P横坐标为t，即得到点F（t，-2）．把t当常数用待定系数法求直线PE解析式，进而求得用t表示的点G纵坐标，再用待定系数法求直线FG解析式，解得FG解析式的一次项系数为-1，与直线DE相等，所以FG∥DE；
（3）延长FO、PE相交于点N，由FM⊥PE于M且∠OFM=45°可证得△MNF为等腰直角三角形，故有FM=MN．过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H，即构造出△FGM≌△MHN，进而有FG=MH，MG=NH．设点M横坐标为m，由（2）求得的直线PE解析式可得M的纵坐标，进而得到用t和m表示的MG、FG．求直线OF解析式，联立直线OF与直线PE求得用t表示的交点N坐标，进而得到用t和m表示的MH、NH．代入FG=MH，MG=NH即得到关于t、m的二元方程组，解方程组并考虑t的范围即求得点P坐标．
解：（1）∵E（-2，3）在抛物线y=ax2-3ax-2上
∴4a+6a-2=3
解得：a=
∴抛物线解析式为y=x2-x-2
（2）证明：∵y=x2-x-2=0时，解得：x1=-1，x2=4
∴A（-1，0），B（4，0）
∵x=0时，y=x2-x-2=-2
∴C（0，-2）
∵点D在抛物线上，且CD∥x轴
∴D（3，-2）
设直线DE解析式为y=kx+b
∴
解得：
∴直线DE：y=-x+1
∵点P为第一象限抛物线上一点
∴设点P坐标为（t，t2-t-2）（t＞4）
设直线PE解析式为y=cx+d
解得：
∴直线PE：y=
x+t-2，直线PE与y轴交点G（0，t-2）
∵PF⊥CD于点F
∴F（t，-2）
设直线FG解析式为y=ex+t-2
把点F代入得：te+t-2=-2
解得：e=-1
∴FG∥DE
（3）延长FO、PE相交于点N，过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H
∴∠FGM=∠MHN=90°
∵FM⊥PE于M
∴∠FMN=90°
∴∠FMG+∠NMH=∠MNH+∠NMH=90°
∴∠FMG=∠MNH
∵∠OFM=45°
∴∠MNF=180°-∠FMN-∠OFM=45°
∴FM=MN
在△FGM与△MHN中
∴△FGM≌△MHN（AAS）
∴FG=MH，MG=NH
∵F（t，-2）
∴直线OF：y=-
x
∵点M在直线PE：y=x+t-2上
∴设M（m，m+t-2）
∴MG=t-m，FG=m+t-2-（-2）=m+t
∵
解得：
∴N（
，
）
∴MH=m-，NH=m+t-2-
∴
解得：
（舍去）
∴yP=×36-×6-2=7
∴点P坐标为（6，7）.
