题目内容
如图，矩形OABC的顶点B在第一象限，其它顶点坐标分别为O（0，0），A（1，0），C（0，2），反比例函数y=
（k＞0）的图象与直线AB交于点E，与直线BC交于点F，连接OE、OF、EF．
（1）若点E与点F重合于点B，则k的值为 ；
（2）若点E是AB的中点，则k= ．S△OEF ；
（3）若k＜2，且S△CEF=2S△BEF，求点E的坐标；
（4）在y轴上是否存在点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△BEF全等？若存在，直接写出此时点E的坐标；若不存在．说明理由．
| k |
| x |
（1）若点E与点F重合于点B，则k的值为
（2）若点E是AB的中点，则k=
（3）若k＜2，且S△CEF=2S△BEF，求点E的坐标；
（4）在y轴上是否存在点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△BEF全等？若存在，直接写出此时点E的坐标；若不存在．说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）先确定B点坐标为（1，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=2；
（2）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（
，2），则可根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF进行计算；
（3）根据三角形的面积公式有k＜2，且S△CEF=2S△BEF得到CF=2BF，则F点坐标为（
，2），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=
，则反比例函数解析式为y=
，然后利用E点的横坐标为1即可确定E点坐标；
（4）作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，k），则F（
，2），分类讨论：
当k＜2时，由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-
，ME=BE=2-k，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=k，然后在Rt△MHM中，根据勾股定理得12+k2=（2-k）2，解得k=
，则E点坐标为（1，
）；
当k＞2时，如图，由△MFE≌△BEF得到MF=BE=k-2，ME=BF=
-1，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，则可利用相似比得到MH=
k，在Rt△MHM中，利用勾股定理得到12+（
k）2=（
-1）2，解得k1=
，k2=0（舍去），则E点坐标为（1，
）．
（2）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（
| 1 |
| 2 |
（3）根据三角形的面积公式有k＜2，且S△CEF=2S△BEF得到CF=2BF，则F点坐标为（
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3x |
（4）作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，k），则F（
| k |
| 2 |
当k＜2时，由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-
| k |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
当k＞2时，如图，由△MFE≌△BEF得到MF=BE=k-2，ME=BF=
| k |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| k |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
解答：解：（1）∵O（0，0），A（1，0），C（0，2），
而四边形ABCO为矩形，
∴B点坐标为（1，2），
∴点E与点F重合于点B，k=1×2=2；
（2）∵点E是AB的中点，
∴E点坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，
把y=2代入y=
得
=2，解得x=
，
∴F点坐标为（
，2），
∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF
=1×2-
-
-
×
×
=
；
故答案为2；1，
；
（3）∵k＜2，且S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，
∴F点坐标为（
，2），
∴k=
×2=
，
∴反比例函数解析式为y=
，
把x=1代入y=
得y=
，
∴E点坐标为（1，
）；
（4）作EH⊥y轴于C，如图，
设E点坐标为（1，k），则F（
，2），
当k＜2时，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1-
，ME=BE=2-k，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=
=k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE2+MH2=ME2，
∴12+k2=（2-k）2，解得k=
，
∴E点坐标为（1，
）；
当k＞2时，如图，
∵△MFE≌△BEF，
∴MF=BE=k-2，ME=BF=
-1，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=
=
k，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE2+MH2=ME2，
∴12+（
k）2=（
-1）2，解得k1=
，k2=0（舍去），
∴E点坐标为（1，
），
∴点E的坐标为（1，
）或（1，
）．
而四边形ABCO为矩形，
∴B点坐标为（1，2），
∴点E与点F重合于点B，k=1×2=2；
（2）∵点E是AB的中点，
∴E点坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，
把y=2代入y=
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
∴F点坐标为（
| 1 |
| 2 |
∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF
=1×2-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 4 |
故答案为2；1，
| 3 |
| 4 |
（3）∵k＜2，且S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，
∴F点坐标为（
| 1 |
| 3 |
∴k=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴反比例函数解析式为y=
| 2 |
| 3x |
把x=1代入y=
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| 3 |
∴E点坐标为（1，
| 2 |
| 3 |
（4）作EH⊥y轴于C，如图，
设E点坐标为（1，k），则F（
| k |
| 2 |
当k＜2时，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1-
| k |
| 2 |
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=
| ||
1-
|
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE2+MH2=ME2，
∴12+k2=（2-k）2，解得k=
| 3 |
| 4 |
∴E点坐标为（1，
| 3 |
| 4 |
当k＞2时，如图，
∵△MFE≌△BEF，
∴MF=BE=k-2，ME=BF=
| k |
| 2 |
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH=
| ||||
| k-2 |
| 1 |
| 4 |
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE2+MH2=ME2，
∴12+（
| 1 |
| 4 |
| k |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
∴E点坐标为（1，
| 16 |
| 3 |
∴点E的坐标为（1，
| 3 |
| 4 |
| 16 |
| 3 |
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、三角形全等的性质和矩形性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
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