Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图，求证：BE=EF；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE与EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

 

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是线段AC的中点，

∴∠CBE= ∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，

∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；

（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF．

图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°……6分

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，…………7分

∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，…………8分

又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；……9分.

图3证明与图2类似，请酌情赋分。