Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E.

（1）求证：EB=EC；

（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由。

Answer 1

（1）证明：连接CD，

∵AC是直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDB＝90°

∵∠ACB=90°

∴BC是⊙O的切线，

∵DE是⊙O的切线，

∴ED=EC        

∴∠EDC=∠ECD．

又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°

∴∠DBE=∠DBE，

∴ED=EB，

∴EB=EC．    

（2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，

又∵DE=BE，    

∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．