Question

如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，则下列结论正确的有几个（　　）
（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：（1）由∠B=∠C=90°，直接得出⑤成立；
（2）作EF⊥AD垂足为点F，证得△DEF≌△DCE和△AFE≌△ABE，得出①③④成立；
（3）因为AB≠CD，AE≠DE，不可能得出②成立；
由此得出结论即可．

解答：解：∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD；
如图，

作EF⊥AD垂足为点F，
∴∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDF，
又∵DE=DE，
∴△DEF≌△DCE；
∴CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，
又∵∠B=∠C=∠DFE=90°，AE=AE，
∴△AFE≌△ABE；
∴AF=AB，∠FAE=∠BAE，∠AEF=∠AEB，
∴AE平分∠DAB，
AD=AF+DF=AB+CD；
∠AED=∠FED+AEF=

1

2

∠FEC+

1

2

∠BEF=90°，即AE⊥DE．
∵AB≠CD，AE≠DE，
∴△EBA≌△DCE不可能成立．
综上所知正确的结论有①③④⑤四个．
故选：C．

点评：此题综合考查了角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识点．