Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=

3

5

，求DC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，易证AD∥OC，则∠DAC=∠ACO，则只要证明∠CAO=∠ACO，根据等边对等角即可证明；
（2）∠BEC=∠BAC，则直角△ABC中即可求得∠ABC，根据三角函数即可求得AB、AC的长，而∠DCA=∠CBA，在直角△ACD中即可利用三角函数求得CD的长．

解答：（1）证明：连接OC，由DC是切线得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC．
即AC平分∠BAD．

（2）解：方法一：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD=AC•sin∠DAC=AC•sin∠BEC=

24

5

．
方法二：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，

DC

CB

=

AC

AB

，即

DC

6

=

8

10

，
解得DC=

24

5

．

点评：本题考查了圆的切线的性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．