Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于两点，过点的直线交抛物线于点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在线段上有一动点，当点在某个位置时，的面积为，求此时点坐标；

（3）如图2，当动点在直线与抛物线围成的封闭线上运动时，是否存在以为直角边的直角三角形，若存在，请求出符合要求的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点E；（3）存在，满足条件的点的坐标为或

【解析】

（1）直接代入A.B两点坐标，列出方程组，即可得到a、b的值，即得到抛物线解析式；

（2）联立抛物线和直线解析式，求出C点，得到AC解析式，设E点为（t，-t+4）可到ED直线解析式，设直线ED与x轴交M点，得到MB长度，利用得到关于t的方程，解方程得到t，进而得到E点坐标；

（3）显然∠BED不能为直角，从而对直角三角形BDE进行分情况讨论，分∠DBE=90°或∠BDE=90°两种情况，利用直线垂直即可求得E点坐标．

解：抛物线与轴交于两点

抛物线解析式为

抛物线解析式为①

点是直线②与抛物线的交点，

联立①②解得，（舍）或

直线解析式为，

设，

，直线解析式为，

设交轴于点，则

解得

点E

直线解析式为

为直角三角形

交于

直线解析式为

点在直线的图象上，

②

交抛物线于

直线的解析式为

点在抛物线上

直线与抛物线的交点为和

，

即满足条件的点的坐标为或