Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．

（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）与相切，证明见详解；（2）

【解析】

（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直径，得到DF⊥BC，得到F为BC中点，证明OF∥AB，进而证明GF⊥OF，于是得到结论；

（2）根据勾股定理求出BC，BF,根据三角函数sinB的定义即可得到结论．

解：（1）答：与相切．

证明：连接OF，DF，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD=BD=，

∵CD为 ⊙O直径，

∴DF⊥BC，

∴F为BC中点，

∵OC=OD，

∴OF∥AB，

∵FG⊥AB，

∴FG⊥OF，

∴为的切线；

（2）∵CD为Rt△ABC斜边上中线，

∴AB=2CD=10，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴BC=，

∴BF=，

∵FG⊥AB，

∴sinB=，

∴，

∴．