题目内容
已知，四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，对角线AC平分∠BAD，直角三角板30°角的顶点与A点重合，（1）如图，当三角板的两边分别与BC、CD交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
（2）如图，当三角板的两边分别与BC、CD的延长线交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明．
【答案】分析：（1）求出∠BAC=∠EAF=30°，∠B=∠ACD，推出∠BAE=∠CAF，根据AAS证△BAE和△CAF全等即可；
（2）与（1）类似，推出∠BAE=∠CAF，根据ASA证△BAE和△CAF全等即可．
解答：（1）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=
（180°-∠BAC）=75°，
同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（2）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等式的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用这些性质进行分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，但难度适中．
（2）与（1）类似，推出∠BAE=∠CAF，根据ASA证△BAE和△CAF全等即可．
解答：（1）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=
（180°-∠BAC）=75°，同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中
，∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（2）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等式的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用这些性质进行分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，但难度适中．
练习册系列答案
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