Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，
①求直线CE的解析式；
②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请你直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A、B的坐标和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数即可；设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）①推出三角形AOB和三角形ACE的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线AB的解析式，求出E的横坐标，设直线CE的解析式是：y=mx+n，把E、C的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
②求出E再直线y=x上，根据等腰三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）∵A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1；
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴

k+b=0 b=1

，
解得，

k=-1 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=-x+1，
答：∠OAB的度数是45°，直线AB的解析式是y=-x+1．
（2）①∵S_△COD=S_△BDE，
∴S_△COD+S_{四边形AODE}=S_△BDE+S_{四边形AODE}，
即S_△ACE=S_△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且y_E＞0，
∴

1

2

×AC×y_E=

1

2

×OA×OB，
∴

1

2

×2×y_E=

1

2

×1×1，
y_E=

1

2

，
把y=

1

2

代入直线AB的解析式得：

1

2

=-x+1，
∴x=

1

2

，
设直线CE的解析式是：y=mx+n，
∵C（-1，0），E（

1

2

，

1

2

）代入得：

-m+n=0 1 2 m+n= 1 2

，
解得：m=

1

3

，n=

1

3

，
∴直线CE的解析式为y=

1

3

x+

1

3

．

②P点的坐标为（0，0）．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强，但难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．