Question

13．路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．正在修建的庙垭隧道的截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线车道，即左右各5米宽的车道．
（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏灯的位置；
（3）为保证行车安全，要求行驶车辆顶部（假设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米，现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否安全通过这个隧道？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，待定系数法将E、F、H三点坐标代入求得；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，即y=1，可求得坐标；
（3）隧道为单行线左右各5米宽的车道，故可求x=4时y的值比较可知．

解答 解：（1）如图，

若以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则E（-5，0），F（5，0），H（0，3）
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c
依题意有：
$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{25a-5b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{25}}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以y=-$\frac{3}{25}$x²+3；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，即y=1，
则有-$\frac{3}{25}$x²+3=1，解得：x=$±\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
故路灯的位置为（$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，1）或（-$-\frac{5\sqrt{6}}{3}$，1）；
（3）当x=4时，y=$-\frac{3}{25}$×4²+3=1.08，
点到地面的距离为1.08+2=3.08
因为3.08-0.5=2.58＞2.5，所以能通过．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要根据题意画出图形，再根据所给的知识点求出答案是本题的关键．