Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S_△ABE=S_△ADE；④BE²=2AE•EC．其中结论正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①由于DM是直角△ADE斜边AE上的中线，欲证DM=DA，只需证明AD=AE即可；②在直角△ADE中，由于∠ADE=90°，AD=AE，得出∠DEA=30°，然后分别算出∠AEB与∠CEB的度数即可；③由于S_△ABE=S_矩形ABCD，S_△ADE＜S_矩形ABCD，从而进行判断；④如果设BC=DA=a，则可用含a的代数式表示BC、AE、EC的长度，然后在直角△BCE中运用勾股定理算出BE²的值，再算出2AE•EC的值，比较即可．
解答：①∵在直角△ADE中，∠ADE=90°，M为AE的中点，∴DM=AE，∵AE=AB，AB=2BC=2DA，∴DM=DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE=90°，AD=AE，∴∠DEA=30°．∵CD∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°，∠CEB=∠ABE．在△EAB中，∠EAB=30°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=75°，∴∠CEB=75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S_△ABE=S_矩形ABCD，S_△ADE＜S_△ADC=S_矩形ABCD，∴S_△ABE＞S_△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC=DA=a，则AE=AB=DC=2BC=2a，DE=AD=a，∴EC=（2-）a．在直角△BCE中，BE²=BC²+CE²=a²+[（2-）a]²=（8-4）a²，2AE•EC=2×2a×（2-）a=（8-4）a²，正确．
故选C．
点评：本题主要考查了直角三角形、矩形的性质以及多边形的面积，勾股定理．综合性较强，有一定难度．