Question

19．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：AN=DC．
（2）若AB⊥DC，试判断四边形ADCN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先平行线的性质得出∠DAC=∠NCA，再利用ASA判定△AMD≌△CMN，即可AD=CN，进而得出四边形ADCN是平行四边形，即可得出CD=AN．
（2）由（1）知四边形ADCN是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论．

解答 （1）证明：如图，∵AB∥CN，
∴∠DAC=∠NCA．
在△AMD和△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠NCA}\\{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA）．
∴MD=MN．
∵MA=MC，
∴四边形ADCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∴CD=AN，

（2）四边形ADCN是矩形，
理由：由（1）知，四边形ADCN是平行四边形，
∵AB⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解（1）的关键是判断出△AMD≌△CMN，解（2）的关键是熟练掌握矩形的判断方法，是一道基础题．