Question

【题目】已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边．

（1）当平分时，如图1，四边形是________形；

（2）过作于，如图2，求证：为的中点；

（3）若．

①当为的中点时，过点作于，如图3，求的长；

②点从点运动到点，则点所经过路径长为________（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）菱；（2）见解析；（3）①，②

【解析】

（1）根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，进而得到AE∥BC，AE＝AD＝DC，根据菱形的判定定理可得结论；

（2）求出，证明，可得，根据可得结论；

（3）①过作于，过点作于，连接，首先证明，然后求出DG和AD的长，再利用勾股定理求出EG即可；②判断出点E的运动路径为EF，根据可得答案．

解：（1）∵是等边三角形，平分，

∴∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，

∵，

∴AE∥BC，AD＝DC，

∵AE＝AD，

∴AE＝DC，

∴四边形是平行四边形，

∵AD＝DC，

∴四边形是菱形；

（2）∵是等边三角形，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，即为的中点；

（3）①过作于，过点作于，连接，

∵为的中点，，

∴，

∵，

∴，

在中，，，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，；

②由（2）可知，，

∴当点D从点B运动到点C时，点D的运动路径为BC，点E的运动路径为EF，

∵，

∴点从点运动到点，则点所经过路径长为．