题目内容
在矩形ABCD中，AB=3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E．（1）若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A′重合，求BC的长；
（2）若直线l与AB相交于点F，且AO=
| 1 |
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①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x-
| 3 |
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分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及轴对称的性质得到AC=2AB，进而利用勾股定理求解即可．
（2）①五边形的面积=矩形的面积-S△AEF，利用相似可求得AE，AF的长度．
②圆与直线l相切，半径x-
应等于AO长．
（2）①五边形的面积=矩形的面积-S△AEF，利用相似可求得AE，AF的长度．
②圆与直线l相切，半径x-
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）∵A′是矩形ABCD的对称中心，
∴A′B=AA′=
AC（1分）
又∵AB=A′B，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC2=AC2-AB2
∴BC=3
．（2分）
（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴AC=
．（1分）
∵AO=
，（1分）
易证△AOF∽△ABC，
=
AF=
(x2+9)，（1分）
同理可得AE=
，（1分）
∴S△AEF=
AE•AF=
，
∴S=3x-
，
即：S=
（
＜x＜3
）．
②若圆A与直线l相切，
则x-
=
，（1分）
15x2-24x=0，x1=0（舍去），x2=
．（1分）
∵x2=
＜
，
∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．（1分）
∴A′B=AA′=
| 1 |
| 2 |
又∵AB=A′B，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC2=AC2-AB2
∴BC=3
| 3 |
（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴AC=
| x2+9 |
∵AO=
| 1 |
| 4 |
| x2+9 |
易证△AOF∽△ABC，
| AO |
| AB |
| AF |
| AC |
| 1 |
| 12 |
同理可得AE=
| x2+9 |
| 4x |
∴S△AEF=
| 1 |
| 2 |
| (x2+9)2 |
| 96x |
∴S=3x-
| (x2+9)2 |
| 96x |
即：S=
| -x4+270x2-81 |
| 96x |
| 3 |
| 3 |
②若圆A与直线l相切，
则x-
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| x2+9 |
15x2-24x=0，x1=0（舍去），x2=
| 8 |
| 5 |
∵x2=
| 8 |
| 5 |
| 3 |
∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．（1分）
点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆与直线相切，半径等于圆心到直线的距离．
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