Question

已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC=45°，∠OBC=75°，A点坐标为（0，2）．
求：（1）B点的坐标；
（2）BC的长．

Answer 1

分析：（1）构造以AB为斜边的直角三角形，利用三角形的内角和定理可得∠C的度数，利用同弧所对的圆周角相等可得∠OAB的度数，进而利用∠OAB的正切值可求得OB长，也就求得了点B的坐标；
（2）作出以BC为斜边的直角三角形，利用45°的余弦值可求得BE长，进而利用60°的正弦值可求得BC长．

解答：解：（1）连接AB（1分）
∵∠BOC=45°，∠OBC=75°，
∴∠OAB=∠OCB=60°．（2分）
∵A点坐标为（0，2），
∴AO=2．
在Rt△AOB中，tanBAO=

OB

AO

，
∴OB=AO•tan60°=2

3

，
∴B点的坐标为(2

3

，0)；（3分）

（2）作BE⊥OC于E（4分）．
∵∠BOE=45°，
∴OE=BE．
在Rt△BEO中，OE²+BE²=OB²，BE=

6

，（5分）
在Rt△BEC中，sin∠C=

BE

BC

，
∴BC=

BE

sin∠C

=

6

3 2

=2

2

（6分）．

点评：考查锐角三角函数的运用；注意构造所求边所在的有特殊角的直角三角形．