Question

8．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，CE是角平分线，AE、CE交于点F．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）作FG∥BC交AB于点G，求证：AF=BG．

Answer 1

分析 （1）结论：△AEF是等腰三角形，只要证明∠AEF=∠AFE即可．
（2）作EH⊥BC于H，只要证明△AFG≌△EHB，再利用等量代换即可得到AG=EB．

解答 （1）解：结论：△AEF是等腰三角形．
理由：∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∵∠B+∠ACB=90°，∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
（2）证明：作EH⊥BC于H，
∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AE=AF，
∴EH=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
在△AFG和△EHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠BEH}\\{∠AGF=∠B}\\{AF=EH}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现角平分线应该利用角平分线性质定理添加辅助线，属于中考常考题型．