Question

3．如图，等边△ABC的边长为2，点D是射线BC上的一个动点，以AD为边向右作等边△ADE，连结CE，
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若CE=$\frac{1}{2}$，求△ACD的面积；
（3）若△ACE是直角三角形，则BD的长是1或4（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）构建两边及其夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．由（1）可知BD=CE=$\frac{1}{2}$，求出CD、AM即可解决问题．
（3）分两种情形①如图3中，当∠AEC=90°时，②如图4中，当∠CAE=90°时，分别求解即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE．

（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．

∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=，$\frac{1}{2}$，∵AB=BC=2，
∴CD=BC-BD=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠BAM=30°，AB=2，
∴AM=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•CD•AM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

（3）解：如图3中，当∠AEC=90°时，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠CAE=90°-∠ACE=30°，
∴EC=BD=$\frac{1}{2}$AC=1．
如图4中，当∠CAE=90°时，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，BD=CE，
∴∠CEA=90°-∠ACE=30°，
∴EC=2AC=4，
∴BD=CE=4．
综上所述，BD=1或4时，△ACE是直角三角形．
故答案为1或4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．