Question

【题目】如图，有理数 a，b，c 分别对应数轴上的点 A,B,C,若a 2|b 4| 0 ，关于 x、y 的单项式3(c 3)x y与 yx 是同类项. 我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，例如，点 A 与点 B 间的距离记作 AB.

(1)求 a，b，c 的值；

(2)点 P 从 C 点出发以每秒 1 个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点 C 到点 B 到点 A 回到点 C；第二回合，从点 C 到 BC 的中点 D 到 CA 的中点 D1 回到点 C；第三回合，从点 C 到 CD 的中点 D2 到 CD1 的中点 D3 回到点 C……，如此循环下去，若第 t 秒时满足 PB+2PC=AC+1，求 t 的最大值；

(3)在（2）的条件下，P 点第一次从 C 点出发的同时，数轴上的动点 M、N 分别从 A 点和 B 点向右运动，速度分别为每秒 1 个单位长度和每秒 2 个单位长度，P 点完成第一个回合后停止在 C 点，当 MP=2MN 时， t 的值是 （直接填答案）

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=－4，c=－1；（2）最大值为秒；（3）秒.

【解析】

（1）根据绝对值和偶次幂的非负性可以求出a、b，再根据同类项的定义求c即可.

（2）首先根据第一回合计算出满足PB+2PC=AC+1时的t值，从而得到要满足PB+2PC=AC+1的点P所对应的数，进而分析第几回合到达不了这个数，从而求最大值；

（3）分析N追上M时t的值，据此进行分类讨论.

（1）∵，3(c 3)x y与 yx 是同类项

∴a－2=0，b+4=0，|c+2|=1且c+3≠0，

∴a=2，b=－4，c=－1.

（2）由（1）知，点A对应的数为2，点B对应的数为－4，点C对应的数为－1，则AC=3，

第一回合：当点P从C到B时，CP=t，BP=3－t，

∵PB+2PC=AC+1

∴3－t+2t=4，则t=1，此时点P对应的数为－2，

当点P从C到A时，CP=t－6，BP=3+t－6=t－3，

∵PB+2PC=AC+1

∴t－3+2(t－6)=4，则t=，此时点P对应的数为，

通过计算可得，D4对应的数为，D5对应的数为，D6对应的数为>－2，D7对应的数为<，所以t的最大值在第三回合点P从D5回到点C时取得.

此时CP= ，BP= ，

∴，则，

故满足PB+2PC=AC+1时，t的最大值为秒.

（3）由题可得，AC==BC=3，点P运动路程为t，点M运动路程为t，点N运动路程为2t，

令2t－t=6，解得t=6，则运动6秒后N追上M，

①追上前（）：MN=6+t－2t=6－t，

当时，MP=t+3+t=2t+3，则2t+3=2(6－t)，解得，

当时，MP= t+3+(6－t)=9，则9=2(6－t)，解得，不满足条件舍去；

②追上后（）：MN=2t－6－t =t－6，

当时，MP=9－t+t=9，则9=2(t－6)，解得，不满足条件舍去，

当时，MP= t－9+t=2t－9，则2t－9=2(t－6)，无解；

综上所述，t值为秒.