Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=8,∠B=60，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α。

（1）当α的度数是_________时，四边形AFCE为菱形；

（2）当α的度数是_________时，四边形AFCE为矩形；

（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）30；（3）不能

【解析】

（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，首先证明四边形AFCE、四边形AFEB是平行四边形，再证明△ABE是等边三角形即可解决问题．

（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，取BC中点M，连接AM，首先证明△ABM是等边三角形，推出∠OCE=30°即可解决问题．

（3）不可能，只要证明AE≠AF即可解决问题．

（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO．

在△AOF和△COE中，∵，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF．

∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE，AF∥BC，∴AF∥BE．

∵∠α=∠ABC=60°，∴AB∥EF，∴四边形AFEB是平行四边形，∴AF=BE=CE．

∵BC=8，AB=4，∴AB=BE=4．

∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=CE．

∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是菱形．

故答案为：60°；

（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，理由如下：

同（1）得：四边形AFCE是平行四边形，取BC中点M，连接AM．

∵AB=BM=4，∠B=60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠AMB=60°，AM=BM=AB=CM，∴∠ACM=∠MAC=30°．

∵∠α=30°，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC．

∵OE=OF，OA=OC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．

故答案为：30°．

（3）四边形AECF不可能是正方形．

理由如下：如图四边形AFCE是矩形．

∵AB=4，BC=8，∠B=60°，∴在Rt△ABF中，AF=ABsin∠B=2，BF=ABcos60°=2，∴CF=BC﹣BF=8﹣2=6．

∵AF≠FC，∴四边形AFCE不是正方形．