Question

【题目】已知为坐标原点，抛物线与轴相交于点.与轴交于点，点，在直线上.

（1）当随着的增大而增大时，求自变量的取值范围；

（2）将抛物线向左平移个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为，直线向下平移个单位，当平移后的直线与有公共点时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用C（0，-3）可以推知c=-3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；
（2）利用c=-3，则y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x-1+n）2-4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．

解：（1）∵点C（0，-3），点A，C在直线y2=-3x+t上，
∴-3×0+t=-3，得t=-3，
∴y2=-3x-3，
当y2=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴x1=-1，
∵|x1|+|x2|=4，
∴x2=±3，
当x2=3时，
∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），

与y轴交于点C（0，-3），
∴该抛物线的对称轴是直线x=1，开口向上，
∴当y1随着x的增大而增大时，自变量x的取值范围是x≥1；
当x2=-3时，
∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0），B（-3，0），与y轴交于点C（0，-3），
∴该抛物线的对称轴是直线x=-2，开口向下，
∴当y1随着x的增大而增大时，自变量x的取值范围是x≤-2；
∴自变量的取值范围：x≥1或x≤-2；
（2）c=-3，则y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，
y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x-1+n）2-4，
则当x≥1-n时，随x增大而增大，
y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y3≤y4，
即（1-n-1+n）2-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，
2n2-5n=2（n-）2-，
∴当n=时，2n2-5n的最小值为：-．