题目内容

如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．

解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．
则OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A= $\text{[math]}$ OP•OQ=t（3-t），
当t= $\text{[math]}$ 时，S_max= $\text{[math]}$ ．

（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．
设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．

（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．
若PQ∥AB，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（0， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ，0）．
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．
若PQ∥OB，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ，0）．
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（0， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．则OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A= $\text{[math]}$ OP•OQ=t（3-t），当t= $\text{[math]}$ 时，S_max= $\text{[math]}$ ．
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．
（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．若PQ∥AB，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（0， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ，0）．
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．若PQ∥OB，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
此时，P（0， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：此题很复杂，把动点问题与实际相结合，有一定的难度，解答此题的关键是分别画出t在不同阶段Q的位置图，结合相应的图形解答．