Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴PE=t，QE=t，

∴PQ2=QE2+PE2，

∴PQ=t，

当Q与B重合时，PQ的值最大，

∴当t=5时，PQ的最大值=.

（2）

如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，

当Q在AB边上时，S=APQE=tt=t2，（0＜t≤5）

当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，

∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=t2或S=﹣t2+16t﹣40．

（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，

由（1）知QE=t，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，

∴CQ====2，

①当CQ=CP时，

即：2=8﹣t，

解得；t=，

②当PQ=CQ时，

即；t=2，

解得：t=，t=（不合题意舍去），

③当PQ=PC时，

即t=8﹣t，

解得：t=3﹣5≈1.7；

综上所述：当t=，t=，t=1.7时，△PQC为等腰三角形．

【解析】（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式 ， 求得PE=t ， QE=t ， 根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2 ， 求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；
（2）由三角形的面积公式即可求得；
（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．