Question

20．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（3）①当△ABC满足AB=AC条件时，四边形ADEF是菱形．
②当△ABC满足∠BAC=150°条件时，四边形ADEF是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由题意易得△BDE≌△BAC，所以DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，所以四边形ADEF为平行四边形；
（3）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．

解答 （1）证明：∵△ABD和△EBC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC．
∵在△BDE和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAC（SAS）；

（2）四边形ADEF为平行四边形，
证明：由（1）△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AF，
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD，
∴ADEF为平行四边形；

（3）AB=AC时，?ADEF为菱形，当∠BAC=150°时?ADEF为矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴?ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是矩形．
故答案是：①AB=AC；②∠BAC=150°．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判断和性质、菱形的判定的应用以及矩形的判断，熟记各种特殊四边形的各种判断方法和性质是解题的关键．