Question

6．（1）操作发现  如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决  保持（1）中的条件不变，若DC=3DF，求$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）类比探求  保持（1）中条件不变，若DC=mDF，求$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）仿照（2）的方法得出答案即可．

解答 解：（1）同意，连接EF，
则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=3DF，
∴CF=2x，DC=AB=BG=3x，
∴BF=BG+GF=4x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+（2x）²=（4x）²
∴y=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=m•DF，
∴BF=BG+GF=（m+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（m-1）x]²=[（m+1）x]²
∴y=2x$\sqrt{m}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2x\sqrt{m}}{mx}$=$\frac{2\sqrt{m}}{m}$．

点评 此题考查了折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，灵活表示每条线段的长度是解决问题的关键．