题目内容

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 1分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC= $\text{[math]}$ AO•CO+ $\text{[math]}$ （PQ+CO）•OQ（1≤x＜3）
= $\text{[math]}$ ×1×3+ $\text{[math]}$ （-2m+6+3）•m=-m²+ $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ；

（3）线段BM上存在点N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（2，2），（1+ $\text{[math]}$ ，4- $\text{[math]}$ ）使△NMC为等腰三角形
CM= $\text{[math]}$ ，CN= $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$
①当CM=NC时， $\text{[math]}$ ，
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=1（舍去）
此时N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
②当CM=MN时， $\text{[math]}$ ，
解得x₁=1+ $\text{[math]}$ ，x₂=1- $\text{[math]}$ （舍去），
此时N（1+ $\text{[math]}$ ，4- $\text{[math]}$ ）
③当CN=MN时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得x=2，此时N（2，2）．
分析：（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．
点评：本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．