Question

阅读下列材料：
1×2=

1

3

×（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

×（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

×（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得
1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

．

Answer 1

分析：观察不难发现，两个数的积等于这两个数乘以它后面的数减去这两个数乘以它前面的数，再乘以

1

3

，然后写出第n个等式的表达式，再进行计算即可．

解答：解：1×2=

1

3

×（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

×（2×3×4-1×2×3），
3×4=

1

3

×（3×4×5-2×3×4），
…，
第n个等式为：n×（n+1）=

1

3

×[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]；
1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=

1

3

n（n+1）（n+2）．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）．

点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出“两个数的积等于这两个数乘以它后面的数减去这两个数乘以它前面的数，再乘以

1

3

”是解题的关键．