题目内容
恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
分析：（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值，比较即可；
（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S2=BA'为最小；
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出A'B'的值即可．
（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S2=BA'为最小；
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出A'B'的值即可．
解答：解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD=
=40，
在Rt△PBC中，
∴BP=
=40
，
S1=40
+10．
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=
=10
，
由轴对称知：PA=PA'，
∴S2=BA'=10
，
∴S1＞S2．
（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S2=BA'为最小．
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，
A'B'=
=50
，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
，
∴所求四边形的周长为50+50
．
则BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD=
| 502-302 |
在Rt△PBC中，
∴BP=
| CP2+BC2 |
| 2 |
S1=40
| 2 |
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=
| 402+502 |
| 41 |
由轴对称知：PA=PA'，
∴S2=BA'=10
| 41 |
∴S1＞S2．
（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S2=BA'为最小．
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，
A'B'=
| 1002+502 |
| 5 |
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
| 5 |
∴所求四边形的周长为50+50
| 5 |
点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键，综合运用勾股定理的知识．
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