题目内容
恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世，著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客，小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB。
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
| 解：（1）①过B作BC⊥AP，垂足为C 则PC=40， 又AP=10， ∴AC=30 在Rt△ABC 中，AB=50，AC=30 ∴BC=40 ∴ BP=  S1=  ；②过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50， 又BC=40 ∴BA'=  轴对称知：PA=PA' ∴S2=BA'=  ∴S1＞S2。 （2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'， 由轴对称知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'＞A'B ∴S2=BA'为最小。 （3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求 过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G A'B'=  ∴所求四边形的周长为  。 |
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