题目内容

已知：抛物线（a≠0），顶点C （1，），与x轴交于A、B两点，．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G（F与A、E不重合，G与E、B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为

将A（－1，0）代入:       ∴   

∴ 抛物线的解析式为，即：

（2）是定值， 

∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE

∴ △APM∽△ABE，∴  ①

同理:   ② 

① + ②:

（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB

∴ EA=EB

∵ ∠AEB=90°

∴ △AEB为等腰直角三角形．

∴ ∠EAB=∠EBA=45°

如图，过点P作PH⊥BE于H，

由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，

∴PH=ME且PH∥ME

在△APM和△PBH中

∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°

∴ PH=BH

且△APM∽△PBH

∴

∴ 　①

在△MEP和△EGF中，

∵ PE⊥FG，  ∴ ∠FGE+∠SEG=90°

∵∠MEP+∠SEG=90°  ∴ ∠FGE=∠MEP

∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF

∴ 　　　　②

由①、②知：

练习册系列答案
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2
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，0）
∵抛物线的对称性及AB=2
2
，
∴AD=DB=|xA-xD|=2
2
．
∵点A（xA，0）在抛物线y=（x-h）2+k上，
∴0=（xA-h）2+k①
∵h=xC=xD，将|xA-xD|=
2
代入上式，得到关于m的方程0=(
2
)2+(      )②
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2
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