Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED为⊙O直径，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴点F是AD的中点；

（2）解：连接DM，

设EF=4k，df=3k，

则ED==5k，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM===k，

∴ME==k，

∴cos∠AED==；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE²=CE•BE，

∴（5k）²=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．