Question

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（-2，0），∠AOB=
45°，点A在第三象限，双曲线y=

k

x

过点A，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是

 

．
（2）设P（t，0），当线段O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）当点O?与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；
（2）作B′C⊥OP于C，利用等腰直角三角形的性质和点P的坐标分别求出O′和B′在双曲线上时，根据设出的点P的坐标，利用A、B′两点均在同一双曲线上得到有关t的方程求得t的值后即可确定点P的坐标．

解答：解：（1）当点O?与点A重合时
∵∠AOB=45°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后是O?B?．
AP=OP，
∴△AOP′是等腰直角三角形，
∴此时点P与点B重合，
∵B（-2，0），
∴点P的坐标是（-2，0），
故答案为：（-2，0）．

（2）由（1）知，当P的坐标是（-2，0）时，直线O?B?与双曲线有交点O′，
当B′在双曲线上时，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=45°，
∴△BB′P是等腰直角三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴B′C=t-2，
∵P（t，0），
∴B′的坐标是（t，t-2），
∵∠ABO=90°，∠AOB=45°，OB=2，
∴OB=AB=2，
∴A（-2，-2），
∵A和B′都在双曲线上，
∴t（t-2）=-2×（-2），
解得：t=1±

5

，
根据双曲线的对称性可得t的取值范围是：2≤t≤1+

5

或-1-

5

≤t≤-2．
故答案为：-2，2≤t≤1+

5

或-1-

5

≤t≤-2．

点评：本题主要考查了对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．