题目内容
以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．
【答案】分析：（1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数
（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．
解答：
解：（1）如图一，连接AQ．
由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴△OQP为直角三角形．
∴
．
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=
．
∵
，
∴OC=
=
．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=
，
∴QC=
=
．
∴QD=
．
点评：此题主要考查了圆中动点问题，以及切线的性质定理．勾股定理，综合性较强，题目比较新颖．
（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．
解答：
解：（1）如图一，连接AQ．由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴△OQP为直角三角形．
∴
．即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=
．∵
，∴OC=
=．∵OC⊥QD，OQ=1，OC=
，∴QC=
=．∴QD=
．点评：此题主要考查了圆中动点问题，以及切线的性质定理．勾股定理，综合性较强，题目比较新颖．
练习册系列答案
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
相关题目
如图，以坐标原点为圆心的⊙O交y轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，C为⊙O位于第一象限部分上的任一点，则∠ACB=
径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B．
（2012•昆山市二模）如图，直线l的解析式为
如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．