题目内容

精英家教网如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰三角形，BO=BA=5，OA=6，OH⊥AB于点H，点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，点Q从点O出发，沿y轴正半轴方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点P运动到O即停止，设运动时间为t秒．
（1）求点B坐标和OH的长；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求运动时间t的值．
分析：（1）过B作BC⊥OA，根据三角形三线合一的性质可得OC=AC=3，然后利用勾股定理求出BC的长度，确定出B的坐标，再根据三角形的面积即可求出OH的长；
（2）过点P作PD⊥OQ，证明△POD与△OAH相似，再根据相似三角形对应边成比例求出PD的长度，再利用三角形的面积公式即可表示出S于t之间的函数关系式，然后整理成顶点式即可进行解答；
（3）分三种情况讨论，①当OQ=PO时，是等腰三角形，此时直接列式求解即可；②当OQ=PQ时，是等腰三角形，此时△QOP与△BOA相似，③当PQ=OP时，根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
解答：精英家教网解：（1）如图，过B作BC⊥OA，
∵BO=BA=5，OA=6，
∴OC=AC=3，
∴BC=
BO2-AC2
=
52-32
=4，
所以B（3，4），
S△ABO=
1
2
×OA×BC=
1
2
×AB×OH，
即
1
2
×6×4=
1
2
×5×OH，
解得OH=
24
5
．

（2）过点P作PD⊥OQ，则DP∥OA，
∴∠DPO=∠HOA，
又∵∠PDO=∠OHA=90°，
∴△POD∽△OAH，
∴
PD
OH
=
OP
OA
，
即
PD
24
5
=
24
5
-t
6
，
整理的PD=
96
25
-
4
5
t，
∴S=
1
2
OQ×PD=
1
2
t（
96
25
-
4
5
t）=-
2
5
（t-
12
5
）2+
288
125
，
∴S与t之间的函数关系式为：S=-
2
5
（t-
12
5
）2+
288
125
，
当t=
12
5
时，△OPQ的面积最大，最大面积是
288
125
．

（3）分三种情况讨论，①当OQ=PO时，t=
24
5
-t，
解得t=
12
5
，
②当OQ=PQ时，精英家教网
∵∠QOP=∠QPO=∠OAB=∠BOA，
∴△QOP∽△BOA，
∴
OQ
OB
=
PO
OA
，
即
t
5
=
24
5
-t
6
，
解得t=
24
11
．
③当PQ=OP时，OQ=t，OP=
24
5
-t，
∵PD⊥y轴，
∴OD=
t
2
，
在Rt△ODP中，
OP2=DP2+OD2，即（
24
5
-t）2=（
96
25
-
4
5
t）2+（
t
2
）2，
解得t=
144
55
秒，
∴当△OPQ为等腰三角形时，运动时间t的值是
12
5
或
24
11
或
144
55
秒．
点评：本题考查了二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质，点的坐标以及解直角三角形，综合性较强，并且运算量比较大，希望同学们能够认真计算仔细求解．
练习册系列答案
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
k
x
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